Алтернативно физическо значение на производното понятие, дефиниция, истинската същност на диференциала. Производна на функция

1.1 Някои проблеми на физиката 3

2. Производна

2.1 Скорост на промяна на функциите 6

2.2 Производна функция 7

2.3 Производна на степенна функция 8

2.4 Геометричен смисълпроизводна 10

2.5 Диференциране на функции

2.5.1 Диференциране на резултатите от аритметичните операции 12

2.5.2 Диференциране на комплексни и обратни функции 13

2.6 Производни на параметрично дефинирани функции 15

3. Диференциал

3.1 Диференциал и неговото геометрично значение 18

3.2 Свойства на диференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1.26

4.2 Приложение 2.29

5. Списък на използваната литература 32

1. Въведение

1.1 Някои проблеми на физиката.Помислете за просто физически явления: право движение и линейно разпределение на масата. За изследването им се въвеждат съответно скоростта на движение и плътността.

Нека разгледаме такъв феномен като скоростта на движение и понятията, свързани с него.

Нека тялото извършва праволинейно движение и знаем разстоянието , преминава от тялото за всяко дадено време , тоест знаем разстоянието като функция от времето:

Уравнението
Наречен уравнението на движението,и линията, която тя определя в осовата система
- график.

Помислете за движението на тялото през интервала от време
от някакъв момент до момента
. През времето тялото е изминало пътя, а през времето - пътя
. Това означава, че за единици време е изминал пътя

.

Ако движението е равномерно, тогава има линейна функция:

В такъв случай
, и отношението
показва колко единици път има за единица време; в същото време той остава постоянен, независим от всеки момент от времето взето, нито от кое време се взема . Това е продължаваща връзка са наречени скорост на равномерно движение.

Но ако движението е неравномерно, тогава съотношението зависи

от , и от . Тя се нарича средна скорост на движение във времевия интервал от преди и означено с :

През този интервал от време, на същото изминато разстояние, движението може да се случи по различни начини; Това е графично илюстрирано от факта, че между две точки на равнината (точки
на фиг. 1) могат да се начертаят голямо разнообразие от линии
- графики на движенията в даден интервал от време и всички тези различни движения съответстват на една и съща средна скорост.

По-специално между точките преминава отсечка от права линия
, което е графика на униформа в интервала
движение. Така че средната скорост показва колко бързо трябва да се движите равномерно, за да преминете през същия интервал от време същото разстояние
.

Оставяйки същото , ще намаляваме. Средна скорост, изчислена за променения интервал
, лежащо в рамките на даден интервал, може, разбира се, да бъде различно от в; всички интервали . От това следва, че средната скорост не може да се разглежда като задоволителна характеристика на движението: тя (средната скорост) зависи от интервала, за който се прави изчислението. Въз основа на факта, че средната скорост в интервала трябва да се разглежда, колкото по-добре характеризира движението, толкова по-малко , нека го накараме да клони към нула. Ако в същото време има ограничение на средната скорост, тогава тя се приема за скорост на движение в момента .

Определение. Скорост праволинейно движение в даден момент се нарича граница на средната скорост, съответстваща на интервала, когато се стреми към нула:

Пример.Нека запишем закона за свободното падане:

.

За средната скорост на падане във времевия интервал имаме

и за скоростта в момента

.

От това се вижда, че скоростта на свободно падане е пропорционална на времето на движение (падане).

2. Производна

Скоростта на промяна на функцията. Извлечена функция. Производна на степенна функция.

2.1 Скоростта на промяна на функцията.Всяко от четирите специални понятия: скорост на движение, плътност, топлинен капацитет,

скоростта на химичната реакция, въпреки значителната разлика във физическото им значение, от математическа гледна точка, както е лесно да се види, е една и съща характеристика на съответната функция. Всички те са частни видове на така наречената скорост на изменение на функцията, която се определя, както и изброените специални понятия, използвайки концепцията за граница.

Затова нека разгледаме в общи линии въпроса за скоростта на промяна на функцията
, отвличане на вниманието от физическото значение на променливите
.

Нека първо
- линейна функция:

.

Ако независимата променлива се увеличава
, след това функцията се увеличава тук
. Поведение
остава постоянен, независимо от функцията, при която функцията се разглежда, или от която е взета .

Тази връзка се нарича темп на промяналинейна функция. Но ако функцията не линейно, тогава съотношението

също зависи от , и от . Това съотношение само "средно" характеризира функцията, когато независимата промяна се променя от дадено на
; тя е равна на скоростта на такава линейна функция, която за взетата има същото увеличение
.

Определение.Поведение НареченСредната скорост промени във функцията в интервала
.

Ясно е, че колкото по-малък е разглежданият интервал, толкова по-добре средната скорост характеризира промяната на функцията, така че принуждаваме клонят към нула. Ако в същото време има ограничение на средната скорост, тогава тя се приема за мярка, скоростта на промяна на функцията за дадена , и наречена скорост на промяна на функцията.

Определение. Скоростта на промяна на функцията vтази точка се нарича граница на средната скорост на изменение на функцията в интервала при стремеж към нула:

2.2 Производна функция.Скорост на промяна на функцията

се определя от следната последователност от действия:

1) постепенно , предвид тази стойност , намерете съответното увеличение на функцията

;

2) се съставя връзка;

3) границата на това съотношение е намерена (ако съществува)

с произволен подход към нула.

Както вече беше отбелязано, ако дадената функция не линейно,

това отношение също зависи от , и от . Границата на това съотношение зависи само от избраната стойност. и следователно е функция на . Ако функцията линейно, тогава разглежданата граница не зависи от, т.е. ще бъде постоянна стойност.

Посоченото ограничение се извиква производна функция на функция или просто производна на функцията и се обозначава, както следва:
Прочетете: "eff stroke from » или "eff приблизително от".

Определение. Производна Тази функция се нарича граница на съотношението на нарастването на функцията към нарастването на независимата променлива с произволна тенденция, това увеличение до нула:

.

Стойността на производната на функция във всяка дадена точка обикновено се обозначава
.

Използвайки въведената дефиниция на производната, можем да кажем, че:

1) Скоростта на праволинейното движение е производна на

функции На (производна на пътя по отношение на времето).

2.3 Производна на степенна функция.

Нека намерим производните на някои от най-простите функции.

Позволявам
... Ние имаме

,

т. е. производната
е постоянна стойност, равна на 1. Това е очевидно, защото - линейна функция и скоростта на нейното изменение е постоянна.

Ако
, тогава

Позволявам
, тогава

Лесно е да се види моделът в изразите за производните на степенната функция
в
... Нека докажем, че като цяло производната на за всеки положителен целочислен показател е равно на
.

.

Изразът в числителя се трансформира по биномната формула на Нютон :

Дясната страна на последното равенство съдържа сбора от членове, първият от които не зависи от, а останалите клонят към нула заедно с . Така

.

Така, функция за захранванеза положително цяло число, то има производна, равна на:

.

В
от намерената обща формула следват формулите, извлечени по-горе.

Този резултат е верен за всеки показател, например:

.

Нека сега разгледаме отделно производната на постоянна стойност

.

Тъй като тази функция не се променя с промяна на независимата променлива, тогава
... следователно,

,

Т.д. производната на константата е нула.

2.4 Геометричен смисъл на производната.

Производна на функция има много просто и интуитивно геометрично значение, което е тясно свързано с концепцията за допирателна към права.

Определение. Тангента
към линията
в нейната точка
(фиг. 2). се нарича гранично положение на правата линия, минаваща през точката, и още една точка
линии, когато тази точка има тенденция да се слее с тази точка.

.Урок

Има средно скоростпроменифункциив посока на права линия. 1 се нарича производна функциив посока и е посочено. Така че - (1) - скоростпроменифункциив точката ...

Лимит и непрекъснатост на функция

Проучване

Физическото значение на производната. Производната характеризира скоростпромениедна физическа величина по отношение на .... На каква стойност са аргументите скоростпроменифункциии Решение. , и, и. Използвайки физическо значениепроизводно ...

Концепцията за функция на една променлива и методи за дефиниране на функции

документ

Концепция за диференциално смятане, която характеризира скоростпроменифункции; П. е функция, дефинирана за всяко x ... непрекъснатата производна (диференциално смятане, характеризиращо скоростпроменифункциив този момент). Тогава и...

§ 5 Частни производни на комплексни функции Диференциали на комплексни функции 1 Частични производни на комплексна функция

документ

Той съществува и е краен) ще бъде скоростпроменифункциив точка в посоката на вектора. Неговото ... и означава или. В допълнение към стойността скоростпроменифункции, ви позволява да определите естеството променифункциив точка в посоката на вектора...

Идеята е следната: вземете някакъв смисъл (прочетете "делта х") , който ще наречем увеличение на аргумента, и ще започнем да го „изпробваме“ в различни точки от нашия път:

1) Нека погледнем най-лявата точка: заобикаляйки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Количеството се нарича увеличение на функцията, и в този случай това увеличение е положително (разликата в стойностите по оста е по-голяма от нула). Нека съставим съотношение, което ще бъде мярката за стръмността на нашия път. Очевидно това е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни.

Внимание! Обозначаване саЕДИНсимвол, тоест не можете да "откъснете" "делта" от "x" и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът се отнася и за символа за увеличаване на функцията.

Нека да изследваме естеството на получената дроб по-смислено. Нека първоначално бъдем на височина 20 метра (в лявата черна точка). Преодолявайки разстоянието от метри (лявата червена линия), ще се окажем на височина от 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде метра (зелена линия) и:. По този начин, на всеки метъртози участък от пътя височината се увеличавасредно аритметично 4 метра… Забравихте ли оборудването си за катерене? =) С други думи, конструираната релация характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ПРОМЯНА (в този случай растеж) на функцията.

Забележка : числови стойностина разглеждания пример съответстват само приблизително на пропорциите на чертежа.

2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Тук издигането е по-плитко, така че приращението (пурпурната линия) е сравнително малко, а съотношението в сравнение с предишния случай ще бъде много скромно. Относително казано, метра и скорост на растеж на функциятасъставляваща. Тоест тук има за всеки метър от пътя средно аритметичноиздигане на половин метър.

3) Малко приключение от страната на планината. Нека разгледаме горната черна точка, разположена на ординатата. Да кажем, че е 50 метра. Отново изминаваме разстоянието, в резултат на което се оказваме по-ниско – на ниво от 30 метра. Тъй като движението се извършва отгоре надолу(в "противоположната посока" на посоката на оста), след това крайната увеличението на функцията (височина) ще бъде отрицателно: метра (кафява линия на чертежа). И в този случай вече говорим за скорост на разпаданефункции: , тоест за всеки метър от пътя на този участък височината намалява средно аритметичнона 2 метра. Защитете дрехите си в петата точка.

Сега нека си зададем въпроса: каква е най-добрата стойност на „измервателния стандарт“ за използване? Съвсем разбираемо, 10 метра е много грубо. Добра дузина подутини могат лесно да се поберат върху тях. Защо има неравности, отдолу може да има дълбок пролом, а след няколко метра - другата му страна с по-нататъшно стръмно издигане. Така с десетметрово разстояние няма да получим разбираема характеристика на такива участъци от пътя чрез съотношение.

Изводът следва от горните разсъждения - как по-малка стойност , толкова по-точно ще опишем релефа на пътя. Освен това следните факти са верни:

– За всякаквиточки за повдигане можете да изберете стойност (макар и много малка), която да се вписва в границите на едно или друго покачване. Това означава, че съответното увеличение на височината е гарантирано положително и неравенството правилно ще посочи растежа на функцията във всяка точка от тези интервали.

- По същия начин, за всякаквиточка на наклона има стойност, която ще се побере напълно на този наклон. Следователно съответното увеличение на височината е еднозначно отрицателно и неравенството правилно ще покаже намаляването на функцията във всяка точка от дадения интервал.

- От особен интерес е случаят, когато скоростта на промяна на функцията е равна на нула:. Първо, нулево увеличение на височината () е знак за равен път. И второ, има и други любопитни ситуации, примери за които виждате на снимката. Представете си, че съдбата ни отведе до самия връх на хълм с реещи се орли или до дъното на дере с крякащи жаби. Ако направите малка стъпка във всяка посока, тогава промяната във височината ще бъде незначителна и можем да кажем, че скоростта на промяна на функцията е практически нула. Такава картина се наблюдава в точките.

Така стигнахме до невероятна възможност да характеризираме перфектно скоростта на промяна на функция. След всичко математически анализви позволява да натиснете увеличението на аргумента до нула:, тоест да го направите безкрайно малък.

В резултат на това възниква друг логичен въпрос: възможно ли е да се намери за пътя и неговия график друга функциякойто би ни казалза всички равнини, изкачвания, спускания, върхове, низини, както и скоростта на нарастване/намаление във всяка точка от пътя?

Какво е производно? Определение на производната.
Геометричното значение на производната и диференциала

Моля, прочетете внимателно и не прекалено бързо - материалът е прост и достъпен за всеки! Няма проблем, ако на някои места нещо не изглежда много ясно, винаги можете да се върнете към статията по-късно. Ще кажа повече, полезно е да се изучава теорията няколко пъти, за да се разберат качествено всички точки (съветите са особено подходящи за студенти-„технари“, за които висшата математика играе важна роля в образователния процес).

По модел на легендите за непрекъснатост на функцията, „Насърчаване” на темата започва с изследване на явлението в една точка и едва след това се разпространява в числовите интервали.

Алтернативно физическо значение на понятието производна на функция.

Николай Брилев

Статия за тези, които мислят самостоятелно. За тези, които не могат да разберат как е възможно да се познае с помощта на непознаваемото и поради тази причина не могат да се съгласят с въвеждането на непознаваеми понятия в инструментариума на познанието: "безкрайност", "изкачване до нула", "безкрайно малко", " квартал на точка“ и др. .П.

Целта на тази статия не е да критикува идеята за въвеждане на много полезен фундамент производна на функция(диференциално), но да го разберем дълбоко физическо чувство,въз основа на общите глобални зависимости на естествените науки. Целта е да се даде концепцията производна функция(диференциална) каузална структура и дълбок смисъл физика на взаимодействията... Това значение днес е невъзможно да се отгатне, тъй като общоприетото понятие е съобразено с условно-формалния, нестрогия, математически подход на диференциалното смятане.

1.1 Класическата концепция за производната на функция.

Като начало, нека се обърнем към общоприетото, общоприето, което съществува от почти три века, което се превърна в класическо, математическата концепция (дефиниция) на производната на функция (диференциал).

Тази концепция е обяснена във всички многобройни учебници по същия начин и приблизително.

Нека количеството u зависи от аргумента x as u = f (x). Ако f (x ) беше фиксиран в две точки в стойностите на аргумента: x 2, x 1, , тогава получаваме стойностите u 1 = f (x 1) и u 2 = f (x 2 ). Разлика на две стойности на аргументах 2, х 1 се нарича приращение на аргумента и се обозначава като Δх = х 2 - х 1 (следователно, х 2 = x 1 + Δ х) ... Ако аргументът се е променил на Δ x = x 2 - x 1, , тогава функцията се е променила (увеличила) като разлика между две стойности на функцията u 1 = f (x 1), u 2 = f (x 2 ) чрез увеличение на функциятаΔf... Обикновено се пише така:

Δf= u 1 - u 2 = f (x 2) - f (x 1 ). Или като се има предвид товах 2 = х 1 + Δ х , можем да запишем, че промяната във функцията еΔf= f (x 1 + Δx) - f (x 1 ). И тази промяна се случи, естествено, в диапазона на възможните стойности на функцията x 2 и x 1,.

Смята се, че ако количествата x 2 и x 1, безкрайно близопо величина един спрямо друг, тогава Δ x = x 2 - x 1, - безкрайно малко.

Дефиниция на производната: Производна функция f (x) в точка x 0 е границата на отношението на приращението на функцията Δе в този момент до нарастването на аргумента Δх, когато последният клони към нула (безкрайно малък). Написано е така.

Lim Δx →0 (Δf(x 0) / Δx)=lim Δx→ 0 ((f (x + Δx) -f (x 0)) / Δx) = f ` (x 0)

Намирането на производната се нарича диференциация ... Въведени дефиниция на диференцируема функция : Функция е която има производна във всяка точка от определен интервал се нарича диференцируема на този интервал.

1.2 Общоприетото физическо значение на производната на функция

И сега върху общоприетото физическо значение на производното .

За нея т.нар физически, или по-скоро псевдофизичена геометричните значения могат да се прочетат и във всеки учебник по математика (изчисление, смятане). Ще обобщя накратко съдържанието им по теми за нея физическо лице :

Физическото значение на производната х `(т ) на непрекъсната функция x (t) в точка t 0 - е моментната скорост на промяна в стойността на функцията, при условие че промяната в аргумента Δ T клони към нула.

И да обясни на учениците дадени физическо значениеучителите могат например т.н.

Представете си, че летите в самолет и имате часовник на китката си. Когато летите, имате скорост, равна на скоростта на самолет?, - обръща се учителят към публиката.

Да!, - отговарят учениците.

И каква скорост имате вие ​​и самолета във всеки момент от времето на вашия часовник?

Скоростта е равна на скоростта на самолета!, отговарят в хор добрите и отличниците.

Не съвсем така - обяснява учителят. - Скоростта, като физическо понятие, е пътят на самолет, изминат за единица време (например за час (km/h)), докато за вас, когато сте погледнали часовника си, е изминал само един момент . По този начин, моментната скорост (разстоянието, изминато за миг) е получената величина от функцията, която описва пътя на самолета във времето. Моментната скорост е физическото значение на производната.

1.3 Проблеми на строгостта на методологията за формиране на математическата концепция за производната на функция.

А удиторияученици, свикнали кротко с образователната система,наведнъж и изцялоусвоява съмнителни истини, като правило, не задава повече въпроси на учителя понятие и физически смисъл на производната. Но любознателен, дълбоко и независимо отразяващ човек не може да асимилира това като строга научна истина. Той със сигурност ще зададе редица въпроси, на които очевидно не се очаква аргументиран отговор от учител от какъвто и да е ранг. Въпросите са както следва.

1. Такива понятия (изрази) на "точната" наука - математика ли са като: момент - безкрайно малка стойност, стремеж към нула, стремеж към безкрайност, малкост, безкрайност, стремеж? Как можеш да знамнякаква същност в мащаба на промяната, опериране с непознаваеми концепциикоито нямат стойност? Още Великият Аристотел (384-322 г. пр. н. е.) в глава 4 от трактата "ФИЗИКА", от незапомнени времена, излъчва: „Ако е безкрайно, тъй като е безкрайно, непознаваемо, то безкрайното по количество или размер е непознаваемо, колко е голямо, а безкрайно на външен вид е непознаваемо, какво е то по качество. Тъй като началото е безкрайно както в количество, така и по вид, тогава да познаем, образувано от тях [нещата], е невъзможно: в края на краищата, ние едва тогава вярваме, че сме познали сложно нещо, когато разберем от кои и колко [принципи] се състои то ... "Аристотел, "Физика", 4 глава ..

2. Как може производни имат физическо значениеидентично с някакъв вид моментна скорост, ако моментната скорост не е физическо понятие, а много условно, "неточно" понятие на математиката, защото това е границата на функция, а границата е условно математическо понятие?

3. Защо математическата концепция за точка, която има само едно свойство - координата (която няма други свойства: размер, площ, интервал), се заменя в математическата дефиниция на производната с понятието за околност на точка, която всъщност има интервал, само неопределен по величина? Защото в понятието за производна понятията и величините Δ x = x 2 - x 1 и x 0.

4. Правилно дали изобщо физическо значениеобясни с математически понятия, които нямат физическо значение?

5. Защо причинно-следствена връзка (функция), в зависимост от причината (аргумент, свойство, параметър) трябва да има окончателен бетон, определен по големина лимит промени (последствия) с неограничено малка, незначителна промяна в величината на причината?

6. В математиката има функции, които нямат производна (недиференцируеми функции в негладкия анализ). Това означава, че в тези функции, когато нейният аргумент (негов параметър, свойство) се промени, функцията (математическият обект) не се променя. Но няма обекти в природата, които да не се променят, когато собствените им свойства се променят. Защо математиците могат да приемат такава свобода като използването на математически модел, който не отчита фундаменталните причинно-следствени връзки на Вселената?

Аз ще отговоря. В предложената класическа концепция, която съществува в математиката - моментна скорост, производна, няма физически и научен, правилен смисъл изобщо и не може да се дължи на ненаучната неправилност и непознаваемост на понятията, използвани за това! Отсъства в понятието „безкрайност“, и в понятието „мигновено“, и в понятието „стремеж към нула или към безкрайност“.

Но вярно, изчистено от хлабавите концепции на съвременната физика и математика (стремеж към нула, безкрайно малка стойност, безкрайност и т.н.)

ФИЗИЧЕСКОТО ЗНАЧЕНИЕ НА ПОНЯТИЯТА ЗА ПРОИЗВОДНА ФУНКЦИЯ СЪЩЕСТВУВА!

Това ще бъде обсъдено сега.

1.4 Истинско физическо значение и причинно-следствена структура на производната.

За да се разбере физическата същност, „отърсете от ушите дебел слой вековна юфка“, окачена от Готфрид Лайбниц (1646-1716) и неговите последователи, ще трябва, както обикновено, да се обърнем към методологията на познанието и строги основни принципи. Вярно е, че трябва да се отбележи, че благодарение на преобладаващия релативизъм, в момента в науката тези принципи вече не се спазват.

Ще си позволя кратко отклонение.

Според дълбоко и искрено вярващи Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Лайбниц смяната на предметите, промяната в техните свойства не е станала без участието на Всевишния. Изучаването на Всемогъщия източник на променливост от всеки естествен учен по това време беше изпълнено с преследване от мощната църква и не беше извършено за самосъхранение. Но още през 19-ти век натуралистите разбраха това ПРИЧИННАТА СЪЩНОСТ НА ПРОМЯНАТА В СВОЙСТВАТА НА ВСЯКАКИ ОБЕКТ - ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ. "Взаимодействието е причинно-следствена връзка в пълното си развитие", отбеляза Хегел (1770-1831) „В най-близкия смисъл взаимодействието изглежда е взаимната причинност на предполагаемите, обуславящи една друга субстанции; всяко е спрямо другото едновременно и активно, и пасивно вещество" ... Ф. Енгелс (1820-1895) уточни: „Взаимодействието е първото нещо, което идва пред нас, когато разглеждаме движението (промяната) на материята като цяло, от гледна точка на днешната естествена наука... Ето как естествената наука потвърждава... че взаимодействието е истинската causa finalis (крайна първопричина) на нещата. Не можем да надхвърлим знанието за това взаимодействие именно защото зад него няма какво повече да разберем " Въпреки това, след като официално се справи с основната причина за променливостта, никой от светлите умове на 19-ти век не започна да възстановява сградата на естествената история.В резултат сградата си остана такава - с фундаментална "гнилост". В резултат на това причинно-следствената структура (взаимодействие) все още липсва в преобладаващото мнозинство от основните понятия на естествената наука (енергия, сила, маса, заряд, температура, скорост, импулс, инерция и др.), включително в математическата концепция за производната на функция- като математически модел, описващ " мигновена промяна"обект" от "безкрайно малки" промени в причинно-следствения му параметър.Теорията на взаимодействията, обединяваща дори добре познатите четири фундаментални взаимодействия (електромагнитно, гравитационно, силно, слабо), все още не е създадена. Сега има много повече "накосячено" и "косяци" навсякъде изпълзяват. Практиката - критерият за истинност, напълно разбива всички теоретични модели, изградени върху такава сграда, претендирайки за универсалност и глобалност. Следователно, все пак сградата на естествената наука ще трябва да бъде възстановена, защото няма къде другаде да се „плува“, науката се развива от дълго време по метода на „ударяване“ - това е глупаво, скъпо и неефективно. Физиката на бъдещето, физиката на 21-ви век и следващите векове трябва да се превърнат във физика на взаимодействията. А във физиката просто е необходимо да се въведе ново фундаментално понятие - "събитие-взаимодействие".В същото време се предоставя основна основа за основните понятия и взаимоотношения на съвременната физика и математика и само в този случай е радикалната формулаcausa finalis формула да се обосноват всички основни формули, които работят на практика. Значението на световните константи и много други се изяснява. И ще ви покажа това, скъпи читателю.

Така, формулиране на проблема.

Нека очертаем модела. Нека абстрактният обект на познание е разпознаваем по размер и природа (означаваме го - u) е относително цяло, което има определен характер (измерение) и величина. Един обект и неговите свойства са причинно-следствена система. Един обект зависи по величина от големината на неговите свойства, параметри, а по размерност от тяхната размерност. Следователно причинният параметър ще бъде обозначен с - x, а разследващият параметър ще бъде обозначен с - u. В математиката такава причинно-следствена връзка се описва формално с функция (зависимост) от нейните свойства – параметрите u = f (x). Променящият се параметър (свойство на обект) води до промяна в стойността на функцията - относително цяло. Освен това, обективно определената позната стойност на цялото (число) е относителна стойност, получена като отношение към неговата унитарна част (някакъв обективен общоприет унитарен стандарт на цялото - u et, единният стандарт е формална стойност, но общоприета като обективна сравнителна мярка.

Тогава u = k * u етаж Обективната стойност на параметъра (свойството) е съотношението към единичната част (стандарт) на параметъра (свойството) -х = и* х това. Размерите на цялото и размерността на параметъра и техните стандартни единици не са идентични. Коефициенти k, иса числено равни на u и x, съответно, тъй като референтните стойности u et их товаизолиран. В резултат на взаимодействията параметърът се променя и тази причинно-следствена промяна следователно води до промяна във функцията (относително цяло, обект, система).

Изисква се да се дефинираофициално общата зависимост на величината на промяна в обект от взаимодействията - причините за тази промяна... Тази постановка на проблема отразява истинския, причинно-следствен, причинно-следствен (според Ф. Бейкън) последователен подход физика на взаимодействията.

Решение и последствия.

Взаимодействието е общ еволюционен механизъм – причина за променливостта. Какво всъщност е взаимодействието (късообхватно, дългосрочно)? Тъй като общата теория на взаимодействието и теоретичният модел на взаимодействието на обекти, носители на съизмерими свойства в естествените науки все още липсват, ще трябва да създадем(повече за това в).Но тъй като мислещият читател иска да знае за истинската физическа същност на производнотоведнага и сега, тогава ще се справим само с кратки, но строги и необходими за разбиране същността на производните изводи от тази работа.

„Всяко, дори най-сложното взаимодействие на обекти може да бъде представено в такъв мащаб от време и пространство (разгърнат във времето и показан в координатна система), че във всеки един момент от времето, в дадена точка от пространството, само два обекта ще взаимодействат два носителя на съизмерими свойства. И в този момент те ще взаимодействат само с две от съизмеримите си свойства."

« Всяка (линейна, нелинейна) промяна на което и да е свойство (параметър) от определено естество на всеки обект може да бъде разложена (представена) в резултат (последствие) от събития на взаимодействие от същото естество, следващи съответно във формалното пространство и времето, линейно или нелинейно (равномерно или неравномерно). В същото време при всяко елементарно, единично събитие-взаимодействие (късообхватно), свойството се променя линейно, защото се дължи на единствената причина за промяната - елементарно пропорционално взаимодействие (което означава, че има функция на една променлива) . ... Съответно всяка промяна (линейна или нелинейна), като последица от взаимодействия, може да бъде представена като сума от елементарни линейни промени, следващи във формалното пространство и време, линейно или нелинейно."

« По същата причина всяко взаимодействие може да бъде разложено на кванти на промените (неделими линейни парчета). Елементарен квант от всякакво естество (измерение) е резултат от елементарно събитие-взаимодействие според дадено естество (измерение). Размерът и размерността на кванта се определя от стойността на взаимодействащото свойство и естеството на това свойство. Например, в случай на идеален, абсолютно еластичен сблъсък на топки (без да се вземат предвид загубите на топлина и други енергия), топките обменят своите импулси (съизмерими свойства). Промяната в импулса на една топка е част от линейна енергия (придадена й или взета от нея) - има квант, който има измерението на ъгловия импулс. Ако топките взаимодействат с фиксирани стойности на импулса, тогава състоянието на стойността на ъгловия импулс на всяка топка при всеки наблюдаван интервал на взаимодействие е „разрешената“ стойност (по аналогия с възгледите на квантовата механика).

Във физическия и математическия формализъм е станало общоприето, че всяко свойство по всяко време и във всяка точка от пространството (за простота ще вземем линейно, едномерно) има стойност, която може да бъде изразена чрез писане

(1)

къде е измерението.

Този запис, наред с други неща, е същността и дълбоко физическо значение на комплексното число, което се различава от общоприетото геометрично представяне (според Gaussian), под формата на точка от равнина .. ( Прибл. автора)

От своя страна модулът на величината на промяната, посочен в (1) като, може да бъде изразен, като се вземат предвид събитията-взаимодействия, като

(2)

Физически усеттази основна за огромен брой добре известни отношения в естествената наука, коренната формула, е, че на интервал от време и на интервал от еднородно линейно (еднокоординатно) пространство е имало - съизмерими събития с къси разстояния от същото естество, което следват във времето и пространството в съответствие с техните функции - разпределения на събитията в пространството - и времето. Всяко от събитията се променяше в определено. Можем да кажем, че при наличието на хомогенност на обектите на взаимодействие в определен интервал от пространство и време, говорим за някои постоянна, линейна, средна стойност на елементарната промяна - получено количествоот големината на промяната , характеристика за средата на взаимодействие с формално описана функция, която характеризира средата и процеса на взаимодействие от определено естество (измерение). Като се има предвид това, което може да се случи различни видовефункции на разпределение на събитията в пространството и времето, тогава има променливи пространствено-времеви измерения y като интеграл от функциите на разпределениесъбития във времетои пространство , а именно [време - t] и[координата - x] може да бъде в степен k(k не е равно на нула).

Ако обозначим, в достатъчно хомогенна среда, стойността на средния интервал от време между събитията - и стойността на средния интервал на разстоянието между събитията -, тогава можем да запишем, че общият брой събития в интервала от време и пространството е равно на

(3)

Това фундаментален рекорд(3) е в съответствие с основните пространствено-времеви идентичности на естествената наука (електродинамиката на Максуел, хидродинамиката, теорията на вълните, закона на Хук, формулата на Планк за енергия и др.) и е истинската първопричина за логическата вярност на физическите и математическите конструкции . Тази нотация (3) е в съответствие с познатата в математиката "теорема за средното". Пренапишете (2), като вземете предвид (3)

(4) - за времеви отношения;

(5) - за пространствени отношения.

От тези уравнения (3-5) следва общ закон за взаимодействието:

Величината на всяка промяна в обект (свойство) е пропорционална на броя на събитията-взаимодействия (късообхватни), съизмерими с него, които го причиняват. В същото време естеството на промяната (видът на зависимост във времето и пространството) съответства на естеството на последователността във времето и пространството на тези събития.

имаме общи основни отношения на естествените наукиза случая на линейно пространство и време, изчистени от концепцията за безкрайност, стремежи към нула, мигновена скорост и т.н. По същата причина обозначенията за безкрайно малки dt и dx не се използват разумно по-нататък. Вместо тях крайни Δti и Δxi ... От тези обобщения (2-6) следва:

- общото физическо значение на производната (диференциала) (4) и градиента (5), както и "световните" константи, като стойности на осреднената (средна) линейна промяна на функция (обект) в едно събитие- взаимодействие на аргумент (свойство) с определено измерение (естество) със съизмерими (със същото естество) свойства на други обекти. Съотношението на величината на промяната към броя на събитията-взаимодействия, които я инициират, всъщност е величината на производната на функцията, отразяваща причинно-следствената зависимост на обекта от неговото свойство.

; (7) - производна на функцията

; (8) е градиентът на функцията

- физическото значение на интеграла,тъй като сумата от стойностите на функцията се променя по време на събития от аргумента

; (9)

- обосновка (доказателство и ясен физически смисъл) на теоремата на Лагранж за крайни нараствания(формула на крайните нараствания), в много отношения фундаментални за диференциалното смятане. За линейни функции и, стойностите на техните интеграли в изрази (4) (5) и се изпълняват. Тогава

(10)

(10.1)

Формулата (10.1) е всъщност формулата на Лагранж за крайни увеличения [ 5].

Когато даден обект е зададен от набор от неговите свойства (параметри), получаваме подобни зависимости за променливостта на обекта, като функция на променливостта на неговите свойства (параметри) и изясняваме физически значението на частната производна на функция множество променливи параметри.

(11)

Формулата на Тейлърза функция на една променлива, която също е станала класическа,

има формата

(12)

Това е разширение на функция (формална причинно-следствена система) в серия, в която нейната промяна е равна на

разложен на компоненти, съгласно принципа на разлагане на общия поток от събития от същото естество на подпотоци, имащи различни характеристикиследи. Всеки подпоток характеризира линейността (нелинейността) на последователността от събития в пространството или времето. Това е физическото значение на формулата на Тейлър ... Така, например, първият член на формулата на Тейлър идентифицира промяната в събитията, следващи линейно във времето (пространството).

В . Второ в нелинейно следванепреглед на събития и др.

- физическото значение на постоянната скорост на промяна (движение)[m/s], което има значението на еднократно линейно движение (промяна, увеличение) на стойността (координати, пътища), с линейно следващи събития.

(13)

Поради тази причина скоростта не е причинно-следствена зависимост от формално избраната координатна система или времеви интервал. Скорост - има неформална зависимост от функцията на последователност (разпределение) във времето и пространството на събитията, водеща до промяна в координатите.

(14)

И всяко сложно движение може да бъде разложено на компоненти, където всеки компонент е зависимост от следните линейни или нелинейни събития. Поради тази причина кинематиката на точка (уравнение на точка) се разширява в съответствие с формулата на Лагранж или Тейлър.

Когато линейната последователност от събития се промени в нелинейна, скоростта се превръща в ускорение.

- физическо значение на ускорението- като величина, числено равна на единично изместване, в случай на нелинейна последователност от събития на взаимодействие, които причиняват това изместване ... при което, или ... В този случай, общото изместване в случай на нелинейна последователност на събития (с линейна промяна в скоростта на последователност на събитията) за равно на (15) - формулата, позната от училище

- физическото значение на ускорението на гравитацията на обект- като постоянна стойност, числено равна на съотношението на линейната сила, действаща върху обекта (всъщност, така нареченото "моментално" линейно преместване), свързано с нелинейния брой събития, следващи във формално време, взаимодействия с околната среда , причинявайки тази сила.

Съответно стойност, равна на сумата нелинейно следванесъбития или връзка - получи името телесно тегло , а количеството - телесно тегло , като сила, действаща върху тялото (върху опората) в покой.Нека обясним горното, т.к широко използвана фундаментална физическа концепция за масата в съвременната физика изобщо не е причинно структурирана от никакви взаимодействия. А физиката знае фактите за промяната в масата на телата, когато вътре в тях настъпват определени реакции (физически взаимодействия). Например, при радиоактивен разпад общата маса на веществото намалява.Когато едно тяло е в покой спрямо повърхността на Земята, тогава общият брой събития-взаимодействия на частици на това тяло с нехомогенна среда с градиент (иначе се нарича гравитационно поле) не се променя. И това означава, че силата, действаща върху тялото, не се променя, а инертната маса, пропорционална на броя на събитията, възникващи в обектите на тялото и обектите в околната среда, е равна на отношението на силата към нейното постоянно ускорение .

Когато едно тяло се движи в гравитационно поле (пада), тогава съотношението на променящата се сила, действаща върху него, към променящия се брой събития също остава постоянно и съотношението - съответства на гравитационната маса... това предполага аналитична идентичност на инерционната и гравитационната маса... Когато тялото се движи нелинейно, но хоризонтално към земната повърхност (по сферичната еквипотенциална повърхност на земното гравитационно поле), тогава в тази траектория няма градиент в гравитационното поле. Но всяка сила, действаща върху тялото, е пропорционална на броя на събитията, едновременно ускоряващи и забавящи тялото. Тоест в случай на хоризонтално движение причината за движението на тялото просто се променя. А нелинейно променящият се брой събития дава ускорение на тялото и (вторият закон на Нютон). При линейна последователност от събития (ускоряване и забавяне) скоростта на тялото е постоянна и физическо количество, с такава последователност от събития, в физиката се нарича импулс.

- Физическото значение на ъгловия импулс, като движения на тялото под влияние на линейно следващи във времето събития.

(16)

- Физически усет електрически заряд обект, въведен в полето, като отношението на силата (силата на Лоренц), действаща върху „заредения“ обект в точката на полето, към стойността на заряда на точката на полето. Защото силата е резултат от взаимодействието на съизмеримите свойства на обекта, въведен в полето, и обекта на полето. Взаимодействието се изразява в промяната на тези съизмерими свойства на двете. В резултат на всяко единично взаимодействие обектите обменят модулите на своите промени, като се сменят един друг, което е стойността на действащата върху тях "моментна" сила като производна на действащата върху интервала на пространството сила. Но в съвременната физика поле, специален вид материя, за съжаление, няма заряд (няма обекти носители на заряд), но има различна характеристика - интензитета в интервала (разликата в потенциалите (зарядите) в определена празнота). По този начин, зарежданепо своята величина показва колко пъти силата, действаща върху зареден обект, се различава от силата на полето в дадена точка (от "моментната" сила). (17)

Тогава положителен обектен заряд- разглежда се като заряд, надвишаващ по абсолютна стойност (по-голям) заряда на точката на полето, и отрицателен - по-малък от заряда на точката на полето. Оттук следва разликата в знаците на силите на отблъскване и привличане... Това обуславя наличието на посока в действащата сила на "отблъскване - привличане". Оказва се, че зарядът е количествено равен на броя на събитията-взаимодействия, които го променят при всяко събитие със стойността на силата на полето.Величината на заряда, в съответствие с концепцията за число (величина), е връзка със стандартен, единичен, тестов заряд -. Оттук ... Когато зарядът се движи, когато събитията следват линейно (полето е равномерно), интегралите и при движение еднородно полеотносно таксата. Оттук и добре познатите отношения на физиката ;

- Физическото значение на силата на електрическото поле, като величината на съотношението на силата, действаща върху зареден обект, към броя на възникващите събития-взаимодействия на зареден обект със заредена среда. Има постоянна характеристика на електрическото поле. Това е координатната производна на силата на Лоренц.Сила на електрическото полеТова е физическа величина, числено равна на силата, действаща върху единичен заряд в едно събитие-взаимодействие () на заредено тяло и поле (заредена среда).

(18)

-Физическото значение на потенциала, тока, напрежението и съпротивлението (електропроводимост).

Прилага се за промяна в размера на таксата

(19)

(20)

(21)

Където се нарича потенциалът на полето и се приема като енергийна характеристика на дадена полева точка, а всъщност това е зарядът на полето, който се различава коефициент пъти от тестовия (референтния) заряд. Или: . При взаимодействието на внесения в полето заряд и заряда на точката на полето се осъществява обмен на съизмерими свойства - заряди. Обменът е явление, описано като „силата на Лоренц действа върху заряда, въведен в полето“, който е равен по величина на величината на промяната на заряда, както и на величината на относителната промяна в потенциала на точката на полето . Когато в земното поле се въведе заряд, последната промяна може да бъде пренебрегната поради относителната малка стойност на тази промяна в сравнение с огромната стойност на общия заряд на точка от земното поле.

От (20) се забелязва, че токът (I) е времевата производна на промяната в заряда през интервала от време, което променя заряда по величина при едно взаимодействие на събитие (късообхватно) със заряда на средата (точка на полето).

* Досега във физиката се смята, че ако: проводникът има напречно сечение с площ S, зарядът на всяка частица е равен на q 0, а обемът на проводника, ограничен от напречни сечения 1 и 2 и дължина (), съдържа частици, където n е концентрацията на частиците. Това е общата такса. Ако частиците се движат в една посока със средна скорост v, тогава през времето всички частици, съдържащи се в разглеждания обем, ще преминат през напречното сечение 2. Следователно силата на тока е

.

Същото, може да се каже в случая на нашето методологическо обобщение (3-6), само че вместо броя на частиците трябва да кажем броя на събитията, което по смисъл е по-вярно, защото има много повече заредени частици (събития) в проводника, отколкото, например, електрони в метала ... Зависимостта ще бъде пренаписана като следователно още веднъж се потвърждава валидността на (3-6) и други обобщения на тази работа.

Две точки от еднородно поле, разположени на разстояние в пространството, с различни потенциали (заряди) имат потенциална енергия една спрямо друга, която е числено равна на работата по промяна на потенциала от величина до. То е равно на тяхната разлика.

. (22)

В противен случай можете да напишете закона на Ом, правилно приравнявайки

. (23)

Където в този случай е съпротивлението, показващо броя на събитията, необходими за промяна на количеството заряд, при условие, че при всяко събитие зарядът ще се променя с постоянна стойност на така наречения "моментен" ток, който зависи от свойствата на диригентът. От това следва също, че токът е производна на времето величина и понятие за напрежение. Трябва да се помни, че в единици SI електрическата проводимост се изразява в Сименс с размерите: Cm = 1 / Ohm = Ampere / Volt = kg -1 m -2 s ³А². Съпротивлението във физиката е реципрочното равен продуктспецифична електрическа проводимост (съпротивление на един участък от материала) на дължина на проводника. Какво може да се напише (в смисъл на обобщение (3-6)) като

(24)

- Физическото значение на индукцията магнитно поле. Експериментално е установено, че съотношението на максималната стойност на модула на силата, действаща върху проводника с ток (силата на Ампер) към силата на тока - I към дължината на проводника - l, не зависи от силата на тока в проводника или по дължината на проводника. Прието е за характеристиката на магнитното поле на мястото, където се намира проводникът - индукцията на магнитното поле, стойност в зависимост от структурата на полето - която съответства на

(25)

и от тогава.

Когато въртим рамката в магнитно поле, тогава преди всичко увеличаваме броя на събитията-взаимодействия между заредени обекти на рамката и заредени обекти на полето. Оттук следва зависимостта на ЕМП и тока в рамката от скоростта на въртене на рамката и силата на полето около рамката. Спираме рамката - няма взаимодействия - няма и ток. З въртя се (промяна)поле - токът отиде и в рамката.

- Физическото значение на температурата.Днес във физиката понятието - мярка за температура не е съвсем тривиално. Един келвин е равен на 1 / 273,16 от термодинамичната температура на тройната точка на водата. Началото на скалата (0 K) съвпада с абсолютната нула. Преобразуване в градуси по Целзий: ° С = K -273,15 (температура на тройната точка на водата - 0,01 ° C).
През 2005 г. определението за келвин беше прецизирано. В задължителното техническо допълнение към текста на ITS-90 Консултативният комитет по термометрия установи изискванията за изотопния състав на водата при реализиране на температурата на тройната точка на водата.

Въпреки това, физическото значение и същността на понятието температурамного по-просто и ясно. Температурата по същество е следствие от събитията-взаимодействия, протичащи вътре в веществото, които имат както „вътрешни”, така и „външни” причини. Повече събития - повече температура, по-малко събития - по-малко температура. Оттук и явлението промяна на температурата в много химични реакции. П. Л. Капица казваше "... мярката за температура не е самото движение, а хаосът на това движение. Хаотичното състояние на едно тяло определя температурното му състояние и тази идея (която е развита за първи път от Болцман), че определено температурно състояние на тялото изобщо не се определя от енергията на движението, а от хаотичната природа на това движение и е тази нова концепция в описанието на температурните явления, която трябва да използваме..." (Доклад на лауреата Нобелова награда 1978 г. Петр Леонидович Капица "Свойства на течния хелий", прочетена на конференцията "Проблеми на съвременната наука" в Московския университет на 21 декември 1944 г.)
Мярката за хаоса трябва да се разбира като количествена характеристика на числото събития-взаимодействия за единица време в единица обем материя - нейното температура... Неслучайно Международният комитет за мерки и теглилки ще промени определението за келвин (мярка за температура) през 2011 г., за да се отърве от трудно възпроизводимите условия на „тройната точка на водата“. В новата дефиниция келвинът ще бъде изразен в секунда и стойността на константата на Болцман.Което точно отговаря на основното обобщение (3-6) на тази работа. В този случай константата на Болцман изразява промяната в състоянието на определено количество материя в едно събитие (вижте физическото значение на производната), а величината и размерността на времето характеризират броя на събитията във времеви интервал. Това още веднъж доказва това причинно-следствената структура на температурата - събития-взаимодействия.В резултат на извършените събития-взаимодействия, обектите във всяко събитие обменят кинетична енергия (ъглов импулс, както при сблъсък на топки) и средата в крайна сметка придобива термодинамично равновесие (първият закон на термодинамиката).

- Физическото значение на енергията и силата.

В съвременната физика енергията Е има различно измерение (природа). Колкото натури, толкова и енергии. Например:

Сила, умножена по дължина (E ≈ F · l≈Н * m);

Налягане, умножено по обем (E ≈ P · V≈Н * m 3 / m 2 ≈N * m);

Импулс, умножен по скоростта (E ≈ p · v≈kg * m / s * m / s≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈N * m);

Маса, умножена по квадрата на скоростта (E ≈ m · v 2 ≈N * m);

Ток, умножен по напрежение (E ≈ I U ≈

От тези съотношения следва усъвършенствана концепция за енергия и връзка с единичен стандарт (мерна единица) за енергия, събития и промяна.

Енергия, - има количествена характеристика на изменението на всеки физически параметър на материята под влияние на събития-взаимодействия от едно и също измерение, предизвикващи тази промяна. В противен случай можем да кажем, че енергията е количествена характеристика на приложената за известно време (на известно разстояние) свойство на външната действаща сила. Количеството енергия (число) е съотношението на количеството промяна от определено естество към официалния, общоприет стандарт на енергия от това естество. Измерението на енергията е измерението на официалния, общоприет стандарт за енергия. Причинно, величината и измерението на енергията, нейната промяна във времето и пространството, формално зависят от общото количество промяна по отношение на стандарта и измерението на стандарта, а неформално зависят от естеството на последователността на събитията.

Общият размер на промяната - зависи от броя на събитията-взаимодействия, които променят размера на общата промяна в едно събитие чрез - средната единица сила - получената стойност.

Енергийният стандарт с определено естество (измерение) трябва да съответства на общата концепция стандарт (единственост, общоприет, неизменност), имат размерността на функцията на последователността от събития в пространство-време и променената стойност.

Тези съотношения всъщност са общи за енергията на всяка промяна в материята.

Относно силата.и стойността иливсъщност има същата "моментна" сила, която променя енергията.

. (26)

По този начин, под обща концепцияинерцията трябва да се разбира като величината на елементарна относителна промяна в енергията под действието на едно събитие-взаимодействие (за разлика от сила, която не е свързана с размера на интервала, а предполагаемото присъствие на интервал на неизменност на действието), което има действителен интервал от време (интервал на пространството) на своята неизменност до следващото събитие.

Интервалът е разликата между две точки във времето на началото на това и следващото съизмерими събития-взаимодействия, или две точки-координати на събития в пространството.

Инерцияима измерението на енергията, тъй като енергията е интегралната сума от стойностите на инерцията във времето под действието на събития-взаимодействия. Количеството промяна на енергията е равно на сумата от инерцията

(27)

В противен случай можем да кажем, че инерцията, придадена на едно абстрактно свойство от -тото събитие-взаимодействие, е енергията на промяна в свойството, което е имало известно време на неизменност до следващото събитие-взаимодействие;

- физическото значение на времето, като формален начин за познаване на величината на продължителността на промяната (неизменност), като начин за измерване на величината на продължителността в сравнение с формалния стандарт за продължителност, като мярка за продължителността на промяната (продължителност, продължителност

И е време да спрем многобройните спекулации относно тълкуването на това основно понятие на естествените науки.

- физическо значение на координатното пространство , като величината (мярката) на промяната (път, разстояние),

(32)

имаща измерението на формален, единичен стандарт на пространството (координати) и стойността на координатите, като интеграл от функцията на последователността на събитията в пространството равен на общия брой референтни стандарти на интервала. При измерване на координати, за удобство, линейна промяна интегрална функцияфункция, чийто интеграл е равен на броя на формално избраните референтни интервали от единични координати;

- физическото значение на всички основни физически свойства (параметри), които характеризират свойствата на всяка среда с елементарно съизмеримо взаимодействие с нея (диелектрична и магнитна проницаемост, константа на Планк, коефициенти на триене и повърхностно напрежение, специфична топлина, световни константи и др.) .

Така се получават нови зависимости, които имат единна начална форма на нотация и единно методологически еднородно причинно-следствено значение. И този каузален смисъл се придобива с въвеждането в естествената наука на глобалния физически принцип – „събития-взаимодействия”.

Ето, драги читателю, какво трябва да бъде най-общо нова математика, надарена с физически смисъл и сигурност и нова физика на взаимодействията на 21-ви век , изчистен от рояк неотносителни, без определеност, величина и измерение, а оттам и здравословни понятия. Такива, напр. как класическа производна и моментна скорост - да има малко общо физическа концепция за скорост... Как концепция за инерция - известна способност на телата да поддържат скорост... инерционна референтна система (ISO) , което няма нищо общо референтна рамка(CO). За ISO, за разлика от обичайната референтна рамка (CO) не е обективна система за познание на величината на движението (промяната).В сравнение с IFR, по неговата дефиниция телата само почиват или се движат по права линия или равномерно. А също и много други неща, които са били глупаво репликирани в продължение на много векове като непоклатими истини. Тези, които се превърнаха в основни, псевдоистини вече не са в състояние да фундаментално, последователно и причинно-следствено описват чрез общи зависимости многобройни явления на Вселената, съществуващи и променящи се според единните природни закони.

1. литература.

1. Хегел Г.В.Ф. Енциклопедия на философските науки: В 3 т. Т. 1: Наука за логика. М., 197 3

2. Хегел G.V.F. , Съчинения, т. 5, М., 1937, с. 691.

3. Ф. Енгелс. PSS. т. 20, стр. 546.

Производната на функция е една от трудните теми в училищната програма. Не всеки завършил ще отговори на въпроса какво е производно.

Тази статия обяснява просто и ясно какво е производно и за какво е.... Сега няма да се стремим към математическа строгост на представянето. Най-важното е да разберете смисъла.

Нека си спомним определението:

Производната е скоростта на промяна на функцията.

Фигурата показва графики на три функции. Кое според вас расте по-бързо?

Отговорът е очевиден – третото. Той има най-висока скорост на промяна, тоест най-голямата производна.

Ето още един пример.

Костя, Гриша и Матвей си намериха работа едновременно. Нека видим как се промениха доходите им през годината:

Можете да видите всичко на графиката веднага, нали? Доходите на Костя са се увеличили повече от два пъти за шест месеца. И доходите на Гриша също се увеличиха, но съвсем леко. И доходите на Матвей паднаха до нула. Началните условия са същите, но скоростта на промяна на функцията, т.е производно, - различно. Що се отнася до Матвей, производната на неговия доход като цяло е отрицателна.

Интуитивно можем лесно да оценим скоростта на промяна на функция. Но как да го направим?

Ние всъщност гледаме колко рязко се издига (или намалява) функционалната графика. С други думи, колко бързо се променя y при промяна на x. Очевидно една и съща функция в различни точки може да има различни стойности на производната - тоест може да се променя по-бързо или по-бавно.

Производната на функцията е обозначена.

Нека ви покажем как да го намерите с помощта на графиката.

Начертава се графика на някаква функция. Да вземем точка с абциса върху нея. Нека начертаем в тази точка допирателната към графиката на функцията. Искаме да преценим колко стръмно е нагоре функционалната графика. Удобна стойност за това е тангенс на ъгъла на наклон на допирателната.

Производната на функцията в дадена точка е равна на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

Обърнете внимание - като ъгъл на наклон на допирателната, ние приемаме ъгъла между допирателната и положителната посока на оста.

Понякога учениците питат какво е допирателна функция. Това е права линия, която има една обща точка с графиката в тази област и както е показано на нашата фигура. Изглежда като допирателна към окръжност.

ще го намерим. Спомняме си, че тангенсът на остър ъгъл при правоъгълен триъгълникравно на съотношението на противоположния крак към съседния крак. От триъгълника:

Намерихме производната с помощта на графиката, без дори да знаем формулата на функцията. Такива задачи често се срещат на изпита по математика под номера.

Има още една важна връзка. Припомнете си, че правата линия се дава от уравнението

Количеството в това уравнение се нарича наклон на правата линия... Тя е равна на тангенса на ъгъла на наклон на правата линия спрямо оста.

.

Ние разбираме това

Нека запомним тази формула. Той изразява геометричното значение на производната.

Производната на функция в дадена точка е равна на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията в тази точка.

С други думи, производната е равна на тангенса на ъгъла на наклона на допирателната.

Вече казахме, че една и съща функция може да има различни производни в различни точки. Нека видим как производната е свързана с поведението на функцията.

Нека начертаем графика на някаква функция. Нека тази функция се увеличава в някои секции и намалява в други и с различна скорост... И нека тази функция има максимални и минимални точки.

В даден момент функцията се увеличава. Допирателна към графиката, начертана в точка, образува остър ъгъл; с положителна посока на оста. Това означава, че производната е положителна в точката.

В този момент нашата функция намалява. Допирателната линия в тази точка образува тъп ъгъл; с положителна посока на оста. Тъй като тангенсът на тъпия ъгъл е отрицателен, производната в точката е отрицателна.

Ето какво се случва:

Ако функцията се увеличава, нейната производна е положителна.

Ако намалява, производната му е отрицателна.

И какво ще се случи при максимални и минимални точки? Виждаме, че в точките (максимална точка) и (минимална точка) допирателната е хоризонтална. Следователно тангенсът на ъгъла на наклон на допирателната в тези точки е нула, а производната също е нула.

Точката е максималната точка. В този момент увеличаването на функцията се заменя с намаляване. Следователно знакът на производната се променя в точката от "плюс" на "минус".

В точката - минималната точка - производната също е нула, но знакът й се променя от "минус" на "плюс".

Заключение: използвайки производна, можете да разберете всичко, което ни интересува за поведението на функция.

Ако производната е положителна, тогава функцията се увеличава.

Ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява.

В максималната точка производната е нула и променя знака от "плюс" на "минус".

В минималната точка производната също е нула и променя знака от "минус" на "плюс".

Нека напишем тези заключения под формата на таблица:

	се увеличава	максимална точка	намалява	минимална точка	се увеличава
+	0	-	0	+

Нека направим две малки уточнения. Един от тях ще ви трябва при решаването на проблема. Друга – през първата година, с по-сериозно проучване на функциите и производните.

Възможен е случай, когато производната на функция в дадена точка е равна на нула, но функцията няма максимум или минимум в тази точка. Това е т.нар :

В дадена точка допирателната към графиката е хоризонтална, а производната е нула. Въпреки това, до момента функцията се увеличи - и след точката продължава да се увеличава. Знакът на производната не се променя - както е бил положителен, той остава.

Също така се случва производната да не съществува в максималната или минималната точка. На графиката това съответства на рязък завой, когато не може да се начертае допирателна в дадена точка.

И как да намерим производната, ако функцията е дадена не от графика, а от формула? В този случай,

Мнозина ще бъдат изненадани от неочакваното местоположение на тази статия в моя авторски курс за производната на функция на една променлива и нейните приложения. В крайна сметка, както беше още от училище: стандартният учебник на първо място дава дефиницията на производната, нейното геометрично, механично значение. Освен това учениците намират производните на функциите по дефиниция и всъщност едва тогава техниката на диференциране се усъвършенства с помощта на производни таблици.

Но от моя гледна точка следният подход е по-прагматичен: на първо място е препоръчително да се РАЗБЕРЕ ДОБРЕ границата на функцията и по-специално, безкрайно малки количества... Факт е, че

определението за производно се основава на понятието граница , което е слабо покрито в училищния курс. Ето защо значителна част от младите потребители на гранитни знания не се задълбочават в самата същност на производното. По този начин, ако сте зле ориентирани в диференциалното смятане или мъдрият мозък се е отървал успешно от този багаж през годините, моля, започнете сграници на функции ... В същото време овладейте / запомнете тяхното решение.

Същият практически смисъл подсказва, че първо е полезно

научете се да намирате производни, включително производни на сложни функции ... Теорията си е теория, но диференциацията, както се казва, винаги е желателна. В тази връзка е по-добре да изработите изброените основни уроци и може би да станетемайстор на диференциацията без дори да осъзнават същността на своите действия.

Препоръчвам да започнете материалите на тази страница, след като прочетете статията. Най-простите задачи за производни, където по-специално се разглежда проблемът за допирателната към графиката на функция. Но можете да изчакате малко. Факт е, че много приложения на производната не изискват нейното разбиране и не е изненадващо, че теоретичният урок се появи доста късно - когато трябваше да обясня намиране на интервали на увеличение/намаляване и екстремумифункции. Освен това дълго време той беше в темата „ Функции и графики„Докато не реших да го сложа по-рано.

Ето защо, скъпи чайници, не бързайте да поглъщате есенцията на производното, като гладни животни, тъй като насищането ще бъде безвкусно и непълно.

Концепцията за увеличаване, намаляване, максимум, минимум на функция

Много уроци ви насочват към концепцията за производна с някакъв практически проблем и аз също излязох с интересен пример. Представете си, че ни предстои да пътуваме до град, до който може да се стигне по различни начини. Нека незабавно да отхвърлим кривите, криволичещи пътеки и ще разгледаме само прави магистрали. Посоките по права линия обаче също са различни: можете да стигнете до града по гладкия автобан. Или по хълмиста магистрала – нагоре-надолу, нагоре-надолу. Друг път върви само нагоре, а друг върви надолу през цялото време. Екстремните катерачи ще изберат маршрут през дефиле със стръмна скала и стръмно изкачване.

Но каквото и да предпочитате, препоръчително е да знаете района или поне да го имате с топографска карта. И ако такава информация не е налична? В крайна сметка можете да изберете например равна пътека и в резултат да се натъкнете на ски писта с весели финландци. Не е факт, че навигаторът и дори

сателитните изображения ще предоставят надеждни данни. Следователно би било хубаво да се формализира релефът на пътя с помощта на математика.

Помислете за някакъв път (страничен изглед):

За всеки случай нека ви напомня един елементарен факт: пътуването се извършва отляво надясно. За простота приемаме, че функцията е непрекъсната в разглеждания участък.

Какви са характеристиките на тази диаграма?

На интервали функцията се увеличава, тоест всяка от следващите й стойности е по-голяма от предишната. Грубо казано, графиката върви отдолу нагоре (изкачваме се на хълма). И на интервала функцията намалява - всяка следваща стойност е по-малка от предишната и нашата графика върви отгоре надолу (слизаме по наклона).

Нека обърнем внимание и на единичните точки. В момента ние

достигаме максимума, тоест има такъв участък от пътя, на който стойността ще бъде най-голямата (най-висока). В точката е достигнат минимумът и има такъв квартал, в който стойността е най-малка (най-ниска).

В урока ще разгледаме по-строга терминология и дефиниции на екстремумите на функцията, но засега нека проучим още една важна характеристика: в интервалите функцията се увеличава, но се увеличава при различни скорости... И първото нещо, което ви хваща окото, е, че графикът се издига нагоре с интервала. много по-хладноотколкото на интервала. Може ли стръмността на пътя да се измери с математически инструменти?

Скорост на промяна на функцията

Идеята е следната: вземете някакъв смисъл

(прочетете "делта х") , който ще наречемувеличение на аргумента, и ще започнем да го „изпробваме“ в различни точки от нашия път:

1) Нека погледнем най-лявата точка: заобикаляйки разстоянието, се изкачваме по склона до височина (зелена линия). Стойността е увеличение на функцията, и в този случай това увеличение е положително (разликата в стойностите по оста - е по-голяма

нула). Нека съставим съотношение, което ще бъде мярката за стръмността на нашия път. Очевидно това е много конкретно число и тъй като и двете увеличения са положителни.

Внимание! Обозначението е ЕДИНИЧЕН символ, тоест не можете да "откъснете" "делта" от "x" и да разгледате тези букви отделно. Разбира се, коментарът се отнася и за символа за увеличаване на функцията.

Нека да изследваме естеството на получената дроб по-смислено. Позволявам

първоначално сме на височина 20 метра (в лявата черна точка). Преодолявайки разстоянието от метри (лявата червена линия), ще се окажем на височина от 60 метра. Тогава увеличението на функцията ще бъде

метра (зелена линия) и :. Така

начин, на всеки метър от този участък от пътя височината се увеличавасредно 4 метра ... забравил ли си оборудването си за катерене? =) С други думи, конструираната релация характеризира СРЕДНАТА СКОРОСТ НА ПРОМЯНА (в този случай растеж) на функцията.

Забележка: числовите стойности на въпросния пример съответстват само приблизително на пропорциите на чертежа.

2) Сега нека отидем на същото разстояние от най-дясната черна точка. Издигането тук е по-леко, така че увеличението

(пурпурна линия) е сравнително малък, а съотношението на

в сравнение с предишния случай ще бъде много скромен. Относително казано, метра и скорост на растеж на функцията

съставляваща. Тоест има средно половин метър изкачване на всеки метър писта.

3) Малко приключение от страната на планината. Нека разгледаме горната черна точка, разположена на ординатата. Да кажем, че е 50 метра. Отново изминаваме разстоянието, в резултат на което се оказваме по-ниско – на ниво от 30 метра. Тъй като движението се извършва отгоре надолу (в "противоположната посока" спрямо посоката на оста), окончателното увеличението на функцията (височина) ще бъде отрицателно:метра (кафява линия на чертежа). И в този случай вече говорим за скорост

намаляваща функция: , тоест за всеки метър от пътя

от този участък височината намалява средно с 2 метра. Защитете дрехите си в петата точка.

Сега нека си зададем въпроса: каква е най-добрата стойност на „измервателния стандарт“ за използване? Съвсем разбираемо, 10 метра е много грубо. Добра дузина подутини могат лесно да се поберат върху тях. Защо има неравности, отдолу може да има дълбок пролом, а след няколко метра - другата му страна с по-нататъшно стръмно издигане. Така с десетметров метър няма да получим разбираема характеристика на такива участъци от пътя чрез

връзка .

Изводът следва от горните разсъждения - толкова по-малка е стойността, толкова по-точно ще опишем релефа на пътя. Освен това валидно